交换律才得到正式的定义。 交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是「可交换」的。 在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法。
(R,+)} 是一个交换群： 加法有结合律——对所有的 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} ，都有： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 加法有交换律——对所有的 a。
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( R , + ) } shi yi ge jiao huan qun ： jia fa you jie he lv — — dui suo you de a , b , c ∈ R { \ d i s p l a y s t y l e a , b , c \ i n R } ， dou you ： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) { \ d i s p l a y s t y l e ( a + b ) + c = a + ( b + c ) } jia fa you jiao huan lv — — dui suo you de a 。
阿贝尔群（Abelian group）也称爲交换群（commutative group）或可交换群，它是满足其元素的运算不依赖於它们的次序（交换律公理）的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。 阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量。
(A,B)} 带有交换群结构，並使得態射合成为双线性运算之范畴。 形式地说，预可加范畴是在交换群的么半范畴上浓化的范畴。预加法范畴有时亦称Ab-范畴，其中的Ab是交换群范畴的缩写。旧文献有时也將预加法范畴称为加法范畴；在此则採当代观点，区別预加法范畴与可加范畴。 一般而言，固定一个交换环 k {\displaystyle。
在抽象代数中，体（德语：Körper，英语：Field）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，体正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。 体是环的一种。但区別在於域要求它的非零元素可以做除法，且体的乘法有交换律。。
每一个群都是幺半群，且每一个阿贝尔群都是可交换幺半群。 每一半格都是等冪可交换幺半群。 任一个半群S都可以变成幺半群，简单地加上一不在S內的元素e，並定义ee=e和对任一在S內的s，es=s=se。 自然数N是加法及乘法上的可交换幺半群。 以加法或乘法为运算，任何单作环的元素 以加法或乘法为运算的整数、有理数、实数及复数 以矩阵加法。
在范畴论中，一个可加范畴是一个存在有限双积的预加法范畴。旧文献所谓的「可加范畴」有时指预可加范畴，在当代理论中则倾向於区別两者。 一如预可加范畴，对一交换环k{\displaystyle k}也能定义k{\displaystyle k}-可加范畴，可加范畴是k=Z{\displaystyle k=\mathbb。
整环（Integral domain），又译作整域，是抽象代数中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。。
{\displaystyle 3+2=5} ，即“3加2等於5”。 除了自然数，其他类型的数也可以定义加法，例如整数、实数、复数等，这些类型的加法是算术的一部分。在代数中，许多抽象的概念也可以相加，例如向量、矩阵等。 加法有几个重要的性质： 交换律：左右两个加数的顺序可以随意调换； 结合律：多个数相加，顺序也可以随意调换；。
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抽象代数中，环论（英语：Ring Theory）是针对一种称为环的代数结构之研究，环类似可交换群，有定义运算「+」，此外又定义另一种运算「·」（此处的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整数中定义的加法及乘法有类似性质）。环论研究环的结构、环的代数表现方式（英语：representation。
(5+2)+1=5+(2+1)=8} 上式中的括号虽然重新排列了，但表示式的值依然不变。当这在任何实数的加法上都成立时，我们说「实数的加法是一个可结合的运算」。 结合律不应该和交换律相混淆。交换律会改变表示式中运算元的位置，而结合律则不会。例如： ( 5 + 2 ) + 1 = 5 + ( 2 +。
{\displaystyle {\mathcal {A}}} 是加法范畴。 所有態射皆有核与上核。 所有態射皆为严格態射。 只满足前两个条件者称作预阿贝尔范畴。 若取 k {\displaystyle k} 为一交换环，则在上述定义中以k-加法范畴代换加法范畴，便得到k-阿贝尔范畴之定义。。
在抽象代数中，半环是类似于环但没有加法逆元的代数结构。偶尔使用术语 rig - 这起源于一个笑话，rig 是没有 negative 元素的 ring。 半环是装备了两个二元关系 + 和 · 的集合 R，有着: (R, +) 是带有单位元 0 的交换幺半群: (a + b) + c = a + (b。
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为一个数字，称之为「和」。把多于两个数相加，可以视为重复的加法；这个过程称为求和，包括在级数中把无穷多个数相加。1的重复加法是计数的最基本的形式。 加法满足交换律和结合律。加法的单位元是0，也就是说，把任何数加上0都得到相同的数。另外，加法的逆元素就是相反数，也就是说，把任何数加上它的相反数都得出。
因此，模同向量空间一样是加法交换群；在环元素和模元素之间定义了乘积运算，并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的和分配律的。 模非常密切的关联於群的表示理论。它们还是交换代数和同调代数的中心概念，并广泛的用于代数几何和代数拓扑中。 假设R 是环(ring)且1R ∈ R，1R 是其乘法运算的单位元素，则左R-模包括一个交换群(M。
c)。关于加法与乘法的单位元素分别记作 0 和 1。 另外如果乘法也是交换的，即 a ⋅ b = b ⋅ a， 环 R 称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。 一个重要的例子，在某种意义下是最关键的，是带有加法与乘法两个运算的整数环 Z。因为整数乘法是一个交换运算，这是一个交换环。通常记作 Z，是德语词 Zahlen（数）的缩写。。
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近环（near-ring）是抽象代数中环的概念的推广。在环的公理中，去掉加法的交换性，同时去掉左分配律或者右分配律，就形成近环。 定义： 集合S的元素在两个二元运算加法（+）和乘法（*）下封闭，且满足如下条件： A1: 对加法（+）形成一个群（不要求加法满足交换律） A2: 乘法（*）对于加法的右分配律成立。即对于集合S内的任意元素x，y，z。
{\displaystyle -a} ，称为其加法逆元；相对地，数 a {\displaystyle a} 的倒数 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ，则称为其乘法逆元。 设「+」为一个交换性的二元运算，即对於所有 x。
＋０＋
− 8 {\displaystyle 2-10=-(10-2)=-8} 。 李代数也是一个满足反交换律的例子。 在数学中，反交换律的定义如下： 令 S {\displaystyle S} 是一个加法群, “*” 是定义在 S {\displaystyle S} 上的二元运算。 如果“*”满足以下条件：对于任意的。
{\displaystyle *} 满足交换律，那么以上三条语句在逻辑上是等价的。 除了实数以外，自然数、复数和基数中的乘法都对加法满足分配律。 实数及复数中的除法都对加法满足右分配律，但不满足左分配律。 序数的乘法对加法只满足左分配律，不满足右分配律。 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律（但不满足交换律）。。
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